Сначала Лобачевский пытался доказать этот постулат, а затем выделил в геометрии Евклида все то, что не зависело от него – «абсолютную геометрию». После этого математик понял, что через точку на плоскости вне лежащей на этой плоскости прямой можно провести не одну прямую, параллельную данной. Так была создана новая геометрическая система. Лобачевский смог доказать существование «более чем одной геометрии», однако его современниками она не была принята и не получила поддержки научного сообщества.

7 февраля 1832 г. Лобачевский представил первую работу по неевклидовой геометрии «О началах геометрии» совету Казанского университета в Академии наук. Почти никто из коллег Лобачевского не поддержал, но ученый терпеливо продолжал работу.

Ближе к концу жизни Лобачевский разорился, а его здоровье было подорвано. Последний труд почти ослепшего ученого «Пангеометрия» в 1855 г. записали под диктовку его верные ученики. Скончался великий математик 23 февраля 1856 г. – в тот самый день, в который тридцатью годами ранее впервые обнародовал свою версию неевклидовой геометрии.
Парадоксальные идеи Н.Лобачевского, коренным образом изменившие взгляды на устои евклидовой геометрии, за два тысячелетия, вполне укоренившиеся в сознании людей, не могли быть поняты его современниками, воспринимавшими их в лучшем случае как умственные упражнения ученого. Об этом свидетельствует сын Лобачевского «Работая над своей аксиомой, он был глубоко убежден в ее немалом значении, и, несмотря на все насмешки, снисходительные улыбки наших казанских светил, он твердо шел к намеченной цели, и, достигни он еще при жизни оценки и славы своего труда, он умер бы счастливым человеком. Математики с оскорбленной гордостью поговаривали: «Не глупее же мы тебя, Николай Иванович, не тупее же мы других, а ты немного уже того... свихнулся».

В 1822 году Михаил Васильевич, желая продолжить занятия математикой, был вынужден уехать в Париж, где в Сорбонне и Коллеж де Франс продолжал изучать математику, посещал лекции знаменитых французских учёных — Лапласа, Фурье, Ампера, Пуассона и Коши.

В 1823г. приглашён в качестве профессора в колледж Генриха IV.

В 1826г. первые научные успехи. Остроградский представил Парижской Академии наук мемуар «О распространении волн в цилиндрическом бассейне». Знаменитый французский математик Коши писал об Остроградском: «Этот русский молодой человек одарён большой проницательностью и весьма сведущий».

В 1828г. возвратился на родину с французским дипломом и с заслуженной репутацией талантливого учёного.

В 1830г. избран экстраординарным академиком Петербургской Академии наук. C 1831 по 1862 возглавлял кафедру Прикладной механики в Институте Корпуса инженеров путей сообщения.

Основные работы Остроградского относятся к прикладным аспектам математического анализа, механики, теории магнетизма, теории вероятностей. Он внёс также вклад в алгебру и теорию чисел.

Хорошо известен метод Остроградского для интегрирования рациональных функций (1844). В физике чрезвычайно полезна формула Остроградского для преобразования объёмного интеграла в поверхностный. В последние годы жизни Остроградский опубликовал исследования по интегрированию уравнений динамики. Его работы продолжили Н. Д. Брашман и Н. Е. Жуковский.

Он не отказывался ни от какой математической работы, способной принести практическую пользу. Так, например, с целью облегчить работу по проверке товаров, поставляемых армии, М. В. Остроградский занялся математическим исследованием, посвященным статистическим методам браковки и основанным на применении теории вероятностей.

Кроме научных исследований, Остроградский написал ряд замечательных учебников по высшей и элементарной математике («Программа и конспект тригонометрии», «Руководство начальной геометрии» и др.). В систематическом и собранном виде общие педагогические взгляды Остроградского были изложены в сочинении «Размышления о преподавании».

В 1828 году окончил отделение врачебных (медицинских) наук университета со степенью лекаря и был зачислен в воспитанники Профессорского института, открытого при Императорском Дерптском университете для подготовки будущих профессоров российских университетов. Занимался под руководством профессора И. Ф. Мойера, в доме которого познакомился с В. А. Жуковским, а в Дерптском университете подружился с В. И. Далем.

В 1833 году, после защиты диссертации на степень доктора медицины, был направлен для учёбы в Берлинский университет вместе с группой из одиннадцати своих товарищей по Профессорскому институту.

Основное значение деятельности Н. И. Пирогова состоит в том, что своим самоотверженным и часто бескорыстным трудом он превратил хирургию в науку, вооружив врачей научно обоснованной методикой оперативного вмешательства.

Богатая коллекция документов, связанных с жизнью и деятельностью Н. И. Пирогова, его личные вещи, медицинские инструменты, прижизненные издания его произведений хранятся в фондах Военно-медицинского музея в Петербурге. Особый интерес представляют двухтомная рукопись учёного «Вопросы жизни. Дневник старого врача» и оставленная им предсмертная записка с указанием диагноза своей болезни.